Entegrasyona Giriş: Teknikler, Türler ve Hesaplamalar

Sizi, alanları, hacimleri ve gerçek hayattaki diğer sayısız konuyu anlamanın kapısını açan, kalkülüsün temel taşı olan integralin büyüleyici dünyasına davet ediyoruz. Bu yazımızda bu konuyla ilgili tanımı, teknikleri, temel kuralları ve bazı örnekleri ele alacağız.

İntegral / Terstürev:

Matematikte eğrinin altındaki bölgenin alanını bulmak için kullanılan işleme entegrasyon adı verilir. Bu aynı zamanda türetmenin tersidir. “∫” ile temsil edilen bu sembole entegrasyon sembolü denir. Entegrasyonun iki temel türü vardır. Belirli ve belirsiz integral.

Entegrasyon türleri:

İki tür entegrasyon vardır.

1. Kesin
2. Belirsiz

Kesin integral:

Bu tipte fonksiyonun sınırları vardır. F(x), f(x)'in terstürevi olsun ve “a”dan “b”ye kadar limitleri olsun, o zaman F(x) ifadesine belirli integral denir. Bunu bir örnekle açıklamaya çalışalım.

Tarafından temsil edilir a∫b f (x) dx

Örnek:

İntegrali çöz 2∫3 3x2dx

Çözüm:

Adım 1:

Sürekli kurala göre,

3 * 2∫3 x2 dx

Adım 2:

Güç kuralını uygula

= 3 [x3 / 3]32 = (3)3 – (2)3 = 27 – 8 = 21

Belirsiz integral:

Bu tür entegrasyonda fonksiyonun sınırı yoktur. F(x), f(x)'in terstürevi olsun, bu durumda F(x) + c ifadesine f(x)'in belirsiz integrali denir ve şu şekilde gösterilir:

∫ f (x)dx = F (x) + c 

S tipi şekil işaretine integral, f(x) fonksiyonuna ise integral denir. İntegrasyon sabiti c'dir ve x, integralin değişkenidir. Bu türü bir örnekle anlamaya çalışalım.

Örnek:

∫ x3dx

Çözüm:

Entegrasyon uygulayarak şunu elde ederiz: 

∫ x3dx = [x4 / 4] + c

Entegrasyon kuralları:

Bununla ilgili sorular için yararlı olan kural türevlerini zaten biliyoruz. Şimdi entegrasyonun bazı temel kurallarını tartışıyoruz,

Toplama ve çıkarma kuralı:

∫ [f (x) ± g (x)] dx = ∫ f (x) dx ± ∫ g (x) dx

Güç kuralı:

∫ xn dx = (xn+1 / n +1) + c (n ≠ -1)

Sabit kural:

∫ k f(x) dx = k ∫ f (x) dx + c (k = constant)

Karşılıklı kural:

∫ (1 / x) dx = ln (x) + c

Entegrasyon teknikleri:

İntegral problemlerini çözmek için aşağıdaki teknikleri kullanın.

1. Değiştirme tekniği
2. Parçalara göre entegrasyon tekniği

Şimdi her bir entegrasyon tekniğini kısaca açıklayacağız,

1: İkame yoluyla entegrasyon

İntegral değişkenini uygun bir ikame ile değiştirirsek, belirli integrallerin değerlemesi kolaylaşır. bir örnekle açıklığa kavuşturmak.

Örnek:

Değerlendirmek ∫ e tan-1 x / 1 + x2 

Çözüm:

Adım 1:

 Değişkeni uygun ikame koyma yöntemiyle değiştirin

 Z = tan-1 x

Adım 2:

Şimdi türevini alıyoruz z 

dz = 1 / 1 + x2 dx

Adım 3:

 Z ve dz'nin değerini belirli bir fonksiyona koyun, böylece,

∫ e tan-1 x / 1 + x2 = ∫ ez dz

 = ez 

= e tan-1 x

2: Parçalara göre entegrasyon

 Parçalara göre integral alma tekniği, iki fonksiyonun integralini bulmak istediğimizde kullanılır; türevin çarpım kuralıyla aynıdır. "u" ve "v" gibi iki fonksiyon x'in fonksiyonu olsun, o zaman

∫ u.v = u ∫ v dx - ∫ [du/dx (∫ V dx)] dx

Not:

u ve v fonksiyonlarının seçimi, v'nin ters türevinin kolayca bulunabileceği şekilde yapılmalıdır. Hem u hem de v'nin terstürevi biliniyorsa, o zaman v, ∫ [du/dx (∫ V dx)] dx'i ∫ [dv/dx (∫ u dx)] dx'ten daha kolay hesaplayan kısım olarak seçilmelidir. . u ve v'yi seçmenin başka yolu yok.

Örnek:

Değerlendirmek I = ∫ x cos(x) dx

Çözüm:

Adım 1:

Almak u = x and v = cos(x) so that ∫ v dx = sin(x)

Ve du/dx = 1

Adım 2:

Verilen integral formülündeki değerleri parçalara göre yerleştirin

∫ u.v = u ∫ v dx - ∫ [du/dx (∫ V dx)] dx

∫ x cos(x) dx = x ∫ cos(x) dx - ∫ [ dx /dx (∫ sin(x) dx)] dx

Adım 3:

basitleştirerek elde ederiz,

 ∫x cos(x) dx = x sin(x) - ∫ 1(sin(x))dx

∫ x cos(x) dx = x sin(x) + cos(x)

Meracalculator ın integral hesap makinesi, manuel hesaplamalardan kurtulmak için integral problemlerini çevrimiçi çözmek için yararlı bir araç olabilir.

3: Rasyonel fonksiyonun entegrasyonu:

Tanım:

İki polinom fonksiyonu ile payda polinomunun sıfıra eşit olmayan oranına rasyonel fonksiyon denir..

In this technique, we perform the integration of such functions.

Örnek:

Hesaplamak ∫ x3dx / (x + 2) (x + 1)

Çözüm:

Adım 1:

İlk olarak integrali kısmi kesirlere ayırıyoruz. Sahibiz  

∫ x3dx / (x + 2) (x + 1) = A / (x + 2) + B / (x+ 1)

Adım 2:

Her iki tarafı LCM ile çarpın

X3 = A (x + 1) + B (x + 2) 

Bu özdeşliğe x = -1 koyarsak x = -2 elde ederiz

-1 = B (-1 + 2) or B = -1 

Koymak x = -2

-8 = A (-2 + 1) or A = 8

Adım 3:

Değerleri kısmi kesre koy

∫ x3dx / (x + 2) (x + 1) = 8 / (x+ 2) – 1 / (x + 1)

Şimdi I = 8 ∫ 1dx / (x + 2) - ∫ 1 / (x + 1)

= 8 ln (x + 2) – ln (x + 1)

Özet

Bu yazımızda entegrasyon hakkında kısa bir açıklama yapacağız. Daha sonra integrasyonun tanımı, türleri, belirli ve belirsiz integrasyonun bazı temel kurallarını tartıştık. Daha sonra entegrasyon teknikleri anlatıldı ve bu tekniklerle entegrasyon problemlerinin nasıl çözüleceği öğrenilmeye çalışıldı.